Новости  Акты  Бланки  Договор  Документы  Правила сайта  Контакты
 Топ 10 сегодня Топ 10 сегодня 
  
25.12.2015

Метод эйлера задача коши

Г Л А В А 6 численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений § 1. Основные понятия Общие сведения. Дифференциальные уравнения широко используются для математического моделирования процессов и явлений в самых разнообразных областях науки и техники. Движение космических объектов, кинетика химических реакций, динамика биологических популяций в природе, модели экономического развития и т. Вообще говоря, любая физическая ситуация, где рассматривается степень изменения одной переменной по отношению к другой переменной, описывается дифференциальным уравнением, а такие ситуации, очевидно, встречаются весьма. Прежде чем обсуждать методы решения дифференциальных уравнений, напомним некоторые сведения из курса математического анализа, которые понадобятся нам в дальнейшем изложении. В зависимости от числа независимых переменных дифференциальные уравнения делятся на две существенно различные категории: обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие одну независимую переменную, и уравнения в частных производных, содержащие несколько независимых переменных. В данной главе рассматриваются методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть степень изменения величины y по отношению к изменению x пропорциональна y. Математически это утверждение запишется в виде простейшего дифференциального уравнения. При различных значениях постоянной a получается семейство кривых, которые все удовлетворяют уравнению 6. Собственно говоря, уравнение 6. Если в дополнение к дифференциальному уравнению задать значение y для некоторого значения x, то можно определить постоянную a. Например, предположим, что решение уравнения 6. В общем случае о быкновенными дифференциальными уравнениями ОДУ называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции. Их можно записать в виде6. Наивысший порядок n входящей в уравнение 6. В ряде случаев из общей записи дифференциального уравнения 6. Примером такого уравнения является рассмотренное ранее уравнение 6. График функции называют интегральной кривой. Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения 6. Единственные частные решения получают с помощью дополнительных условий, которым должны удовлетворять искомые решения. При этом постоянные получают конкретные значения, определяемые дополнительными условиями. В зависимости от способа задания дополнительных условий для получения частного решения дифференциального уравнения рассматривают три типа задач: задача Коши, краевая задача и задача на собственные значения. В качестве дополнительных условий могут задаваться значения искомой функции и ее производных при некоторых значениях независимой переменной, т. Количество дополнительных условий совпадает с порядком уравнения кроме задач на собственные значения. Если дополнительные условия задаются в одной точке, то такая задача называется задачей Коши. Дополнительные условия в задаче Коши называются начальными условиями, а точкав которой они задаются, — начальной точкой. Если дополнительные условия задаются более чем в одной точке, т. Сами дополнительные условия называются при этом граничными или краевыми условиями. На практике, обычно граничные условия задаются в двух точках иявляющихся границами отрезка, на котором рассматривается решение дифференциального уравнения. Минимальный порядок ОДУ, для которого может быть сформулирована краевая задача, равен двум. Задача на собственные значения. Третий тип задач для ОДУ — это задачи на собственные значения. Такие задачи отличаются тем, что кроме искомых функций их производных в уравнения входят дополнительно m неизвестных параметровкоторые называются собственными значениями. При этом для нахождения единственного частного решения на интервале необходимо задать граничных условий. В качестве примера можно назвать задачи определения собственных частот например, отыскание уровней энергии и волновых функций частицы находящейся в потенциальной ямезадачи нахождения коэффициентов затухания волновых процессов и т. Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений можно разбить на следующие группы: аналитические, приближенные и численные. Аналитические методы позволяют получить решение в виде формулы путем аналитических преобразований. При этом имеется возможность исследовать аналитическим способом свойства общего решения и получать из него частные решения. Такие методы развиты для ряда уравнений первого порядка с разделяющимися переменными, однородных, линейныха также для некоторого типа уравнений высших порядков например, линейных с постоянными коэффициентами. Приближенные методы основаны на различных упрощениях самих уравнений путем обоснованного отбрасывания пренебрежения некоторых содержащихся в них членов. В некоторых случаях сначала находят точное решение упрощенной задачи, а затем приближенно вычисляют поправки, обусловленные малыми членами, отброшенными на первом этапе. На этом основаны методы теории возмущений. Другой подход связан с представлением решения в виде разложения по малому параметру, который содержится в задаче. К данной группе относятся асимптотические методы, с помощью которых получают решения, описывающие некоторую предельную картину рассматриваемого явления. К численному решению дифференциальных уравнений приходится обращаться, когда не удается получить аналитического решения и применение приближенных методов также оказывается затруднительным. Например, внешне простое уравнение не имеет элементарного аналитического решения и может быть решено только численно. В настоящее время численные методы являются основным инструментом при исследовании большинства научно-технических задач. В основе численных методов лежат достаточно простые идеи, которые приводят к несложным математическим соотношениям. Однако практическое применение этих соотношений связано с необходимостью проведения большого объема вычислительной работы, поэтому численные методы особенно эффективны в сочетании с использованием современных компьютеров. Наиболее распространенным и универсальным подходом к численному решению дифференциальных уравнений является метод конечных разностей. Суть этого подхода состоит в следующем. Область непрерывного изменения независимой переменной аргумента заменяется дискретным множеством точек, называемых узлами. Эти узлы образуют расчетную сетку. Искомая функция непрерывного аргумента приближенно заменяется функцией дискретного аргумента на заданной сетке. Эта функция называется сеточной. Исходное дифференциальное уравнение заменяется разностным соотношением относительно сеточной функции. При этом входящие в уравнения производные заменяются разностными отношениями см. Такая замена дифференциального уравнения разностным уравнением называется его аппроксимацией на сетке. Таким образом, решение дифференциального уравнения сводится к отысканию значений сеточной функции в узлах сетки. Решение задачи Коши Общий подход. Обсуждение методов решения задачи Коши ради простоты будем проводить на примере одного уравнения первого порядка 6. Методы, которые мы здесь рассмотрим, легко обобщаются для системы уравнений первого порядка, к которым, в частности, сводятся уравнения высших порядков. Например, уравнение второго порядкаможно переписать в следующем виде:, где z — новая зависимая переменная, определяемая вторым уравнением. Теперь получается система уравнений относительно y и z. Решение этой системы даст функцию и ее производную. Введем в области расчета дискретный набор точек,в которых будет вычисляться приближенное решение рис. Точки будем называть узлами интегрирования или узлами сетки, расстояние h между узлами — шагом интегрирования или шагом сетки. Совокупность всех узлов будем называть сеточной областью или просто сеткой узлов. Мы также будем пользоваться другими обозначениями: — совокупность искомых приближенных значений решения задачи 6. Различные совокупности величин, отнесенных к узлам сетки, называются сеточными функциями. Для характеристики точности численных методов определим погрешность приближенного решения следующим образом:где — значение точного решения в узле сетки. Будем говорить, что численное решение сходится к точному. Будем также говорить, что метод, по которому получено численное решение, является методом p-го порядка точности, если выполняется неравенство. Переходим к обсуждению конкретных методов получения приближенного решения задачи 6. Простейший способ их конструирования опирается на замену производной в левой части уравнения 6. Алгебраические соотношения между компонентами сеточной функции, которыми заменяются исходные дифференциальные уравнения в окрестности каждого узла сетки, называют разностными уравнениями соотношениями. Замкнутую систему разностных уравнений вместе с дополнительными условиями начальными или краевыми называют разностной схемой. Метод Эйлера имеет очень простую геометрическую интерпретацию. Искомая интегральная кривая на отрезке приближается ломаной рис. К этому же методу можно придти, заменяя производную в уравнении 6. Однако при этом возникают некоторые трудности, связанные с тем, что искомая величина входит в правую часть уравнения, причем, в общем случае, нелинейным образом. Эти трудности непринципиальны, достаточно вспомнить о методах решения нелинейных уравнений. Например, можно предложить следующий итерационный процесс, для вычисления приближенного решения в очередном i-ом узле. Такого рода методы, в которых для вычисления приближенного решения в очередном i-ом узле необходимо дополнительно решать некоторые уравнения линейные или нелинейные называются неявными методами. В противоположность этому методы, в которых приближенное решения в очередном i-ом узле явно выражается через предыдущие значения называются явными методами. При этом, если для вычисления используется только одно предыдущее значението метод называется одношаговым, а если несколько предыдущих значений — многошаговым. Таким образом, метод Эйлера 6. Чтобы понять, как можно строить методы, обладающие большей точностью обратимся к рис. Здесь в пределах отрезка в увеличенном масштабе изображена интегральная кривая, выходящая из точки с координатами ; — приближенное значение прикоторое получается по явному методу Эйлера; — значение, вычисляемое по неявному методу Эйлера соответствующий отрезок, проведен из точки с наклоном, равным наклону касательной к интегральной кривой в точке ; — значение, которое соответствует пересечению с прямой, проведенной из точки с наклоном, равным наклону касательной к интегральной кривой в середине отрезка. Исходя из приведенного рисунка можно предположить, что точность больше, нежели. Опираясь на эти простые геометрические соображения, сконструируем другие расчетные схемы. Запишем уравнение прямой выходящей из точки с наклоном, равным наклону интегральной кривой в середине отрезка на рис. Для точки получаемоткуда немедленно следует разностное соотношение:. Метод Эйлера с пересчетом. Построение другого способа расчета опирается на следующие геометрические соображения. С помощью метода Эйлера определяется точкалежащая на прямой рис. В этой точке снова вычисляется наклон интегральной кривой, на рисунке этому значению соответствует прямая. Усреднение двух тангенсов дает прямую. Наконец через точку проводим прямуюпараллельную. Точка, в которой прямая пересечется с ординатой и будет искомой точкой. Соответствующая разностная схема будет иметь следующий вид: 6. Последовательные значенияв соответствии с 6. Рассмотренные модификации метода Эйлера относятся к группе методов, называемых методами прогноза и коррекции предиктор-корректор. Суть этих методов состоит в том, что сначала грубо оценивается решение в некоторой точке отрезка интегрирования, а затем оно уточняется с учетом информации о поведении интегральной кривой. В частности, в методе Эйлера с пересчетом сначала вычисляется приближенное значение по формуле 6. Рассмотренные выше метод Эйлера и его модификации являются частными случаями однопараметрического семейства схем Рунге-Кутта различного порядка точности. Так, например, модифицированный метод Эйлера 6. Нетрудно видеть, что при формулы 6. Широкое распространение на практике получил метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Расчетные формулы этого метода имеют следующий вид: 6. Другими словами, для получения результатов с одинаковой точностью в методе Эйлера потребуется значительно меньший шаг, чем в методе Рунге-Кутта 6. Представление о многошаговых методах. Многошаговые методы решения задачи Коши характерны тем, что вычисляемое значение решения в текущем узле зависит от данных не только в одном предыдущем узле, но и в ряде предшествующих. В качестве примера построим простейший многошаговый метод. Для того, чтобы начать вычисления по формуле 6. Это можно сделать, например, воспользовавшись методом Эйлера:. Коснемся коротко принципиально иного подхода, который также позволяет конструировать методы решения задачи Коши различной точности. Заметим, что решение уравнения удовлетворяет интегральному соотношению. Если решение в узлах вплоть до i-го уже вычислено, то по известным значениямможно интерполировать подынтегральную функцию полиномами различной степени. Вычисляя интеграл от выбранного полинома, будем получать различные расчетные формулы, называемые формулами Адамса. Например, заменяя подынтегральную функцию ее значением в точке полиномом нулевой степениполучим или — метод Эйлера полученный новым способом. Заменяя подынтегральную функцию полиномом третьей степени можно получить метод Адамса четвертого порядка:. При ответе на этот вопрос нужно принимать следующие соображения: метод Адамса требует меньших затрат арифметических операций при определении очередного значениятак как при счете по формуле 6. С другой стороны, чтобы начать вычисления по формулам Адамса, необходимо помимо заданного значения как-то определить например, по тем же формулам Рунге-Кутта значения, в первых трех узлах интегрирования. В качестве иллюстрации рассмотрим применение некоторых из описанных выше методов для решения простейшей физической задачи о движении частицы массой m под действие силы упругости. Определим зависимость положения частицы от времени, если в начальный момент времени ее положение и скорость имеют заданные значения. Движение частицы описывается уравнением Ньютона:. Решение этой задачи хорошо известно: частица будет совершать гармонические колебания относительно положения равновесия по законугде A — амплитуда колебаний, w — частота колебаний, равная— начальная фаза колебаний. Наличие точного аналитического решения этой задачи дает нам возможность оценить точность приближенных численных результатов. Перейдем к обсуждению численного решения системы уравнений 6. Предположим, что решение уравнений 6. Введем на этом интервале дискретную сетку узлов с шагом : {, }. Применение метода Эйлера 6. Исключая из последних формул промежуточные значения, получим:, 6. Можно показать, что применение метода Эйлера с пересчетом 6. И, наконец, применим для решения системы уравнений 6. Ниже в таблице 1 приведены результаты численных расчетов при начальных условияхдля различных моментов времени. Масса частицы m и коэффициент упругости k приняты равными единице. Шаг интегрирования во всех методах равен 0. Момент времени t Точное значение x t Метод Эйлера Модифицированный метод Эйлера Метод Рунге-Кутта IV 0 1 1 1 1 2 -0. Модифицированный метод Эйлера дает существенно лучший результат. На всем интервале относительная погрешность его результатов не превосходит 10%. Метод Рунге-Кутта показывает очень хорошую точность своих результатов с максимальной относительной погрешность не более 0. Выбор шага интегрирования и контроль за точностью вычислений. До сих пор мы не обсуждали вопрос выбора шага интегрирования, а ведь именно от величины шага зависит точность получаемого решения и время, затрачиваемое на его получение. Из приведенных ранее рассуждений о порядке точности методов решения ОДУ можно сделать общий вывод о том, что для повышения точности следует брать меньший шаг. Однако на практике ситуация не столь однозначна. Уменьшение шага интегрирования приводит к увеличению времени вычислений. И что более важно, слишком малые значения шага могут привести не к повышению точности, а, наоборот, к увеличению погрешности в силу накапливания вычислительной ошибки. В тоже время, выбор слишком большого шага интегрирования может привести не только к большой погрешности, но и к получению абсолютно неверного результата. Поэтому выбор шага это всегда определенный компромисс между точностью и временем. Таким образом, мы обозначили проблему выбора такого значения шага интегрирования, при котором бы обеспечивалась требуемая точность вычисления и умеренные затраты машинного времени. И здесь, прежде всего, нужно определить критерий, по которому можно судить о точности получаемых результатов. В рассмотренном выше численном примере таким критерием являлось сравнение приближенного результата с точным. Однако, если точный результат неизвестен, что и бывает в подавляющем большинстве случаев, то применение такого критерия оказывается невозможным. Одним из возможных критериев точности может служить сравнение приближенных результатов в каждом узле, полученных при разных шагах интегрирования, например. Если величина сравнима с заданной погрешностью вычислений, то шаг можно увеличить; в противном случае, когда указанная величина слишком велика, значение шага следует уменьшить. Используя эту оценку, можно построить методы с автоматическим выбором шага и контролем точности на протяжении всего времени вычислений. Такие алгоритмы называют адаптивными, т. Другой подход опирается на использование особенностей решаемой задачи. В частности, при решении многих физических задач может существовать такой параметр, например, полная энергия, который должен сохранять свое значение. В ходе вычислений, постоянно отслеживают значение этого параметра и, в случае его изменения, выходящего за пределы допустимой погрешности, корректируют значение шага интегрирования. Что касается выбора начального пробного значения шага, то здесь, к сожалению, не существует универсального рецепта. И в каждом конкретном случае шаг выбирается исходя из характерных параметров решаемой задачи. Решение краевой задачи Постановка задачи. В предыдущем параграфе рассматривалось решение задачи с начальными условиями, т. На практике часто приходится решать задачи другого типа, когда требуется, чтобы искомая функция имела бы заданные значения на границах отрезка, на котором рассматривается решение. Такие задачи, называемые краевыми, получаются при решении уравнений высших порядков или систем уравнений. Рассмотрим, например, линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Аналитические методы имеются лишь для решения узкого класса уравнений, в частности для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которые широко используются при исследовании различных физических процессов например, в теории колебаний, динамике твердого тела и т. Приближенные методы разрабатывались еще задолго до появления компьютеров. Однако многие из них до сих пор не утратили своего значения. Это методы коллокаций, наименьших квадратов, метод Галеркина и др. Численные методы решения краевой задачи можно разделить на две группы: сведение редукция решения краевой задачи к последовательности решений задач Коши и непосредственное применение конечно-разностных методов. Далее мы рассмотрим один из простых численных методов, относящийся к первой группе методов. Рассмотрим краевую задачу для уравнения второго порядка, разрешенного относительно второй производной: 6. Считая решение задачи Кошизависящим от параметра a, будем искать такое его значениепри котором полученная интегральная кривая выходит из точки А и попадает в точку Другими словами, нужно подобрать такое значение угла наклона a, чтобы удовлетворялось уравнение. Необычность ситуации состоит в том, что функция задана непривычным пока для нас образом — алгоритмически: чтобы найти значение функции F при заданном значении аргумента, надо решить задачу Коши 6. Если, например, из каких-то соображений или в результате предварительных расчетов известно, что искомое решение лежит между двумя интегральными кривыми и с начальными наклонами ито простейшим методом решения уравнения 6. Полагаярешаем задачу Коши при и, в соответствии с методом половинного деления, отбрасываем один из отрезков: илина котором функция не меняет знак. Процесс поиска решения прекращается, если разность двух последовательно найденных значений a меньше некоторого наперед заданного малого числа. В этом случае полученное последним решение задачи Коши и будет принято за искомое решение краевой задачи. Для решения уравнения 6. Его применение состоит в следующем. Пусть — начальное приближение ктогда для уточнения корня можно построить итерационный процесс в соответствии с формулой Ньютона 2. Следует отметить, что этот алгоритм хорошо работает в том случае, если решение не слишком чувствительно к изменению a; иначе мы можем столкнуться с неустойчивостью решения. В тех случаях, когда решения дифференциальных уравнений являются быстро растущими функциями, предпочтительней могут оказаться методы, основанные на непосредственной аппроксимации исходной задачи см. Вопросы для самоконтроля 1. В чем заключается постановка начальной и краевой задач для обыкновенных дифференциальных уравнений? Как осуществить переход от уравнения второго порядка к системе уравнений первого порядка? В чем состоит идея численного решения начальной задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений? Что называется порядком точности численного метода решения ОДУ? Чем отличаются явные и неявных расчетных схемы? Чем отличаются методы Рунге-Кутта 6.

  Комментарии к новости 
 Главная новость дня Главная новость дня 
Проект сарая для скота
Кондиционеры mitsubishi инструкции
Carthago delenda est перевод
Стих маяковского про план
Коломенская црб адрес
Приказ пример оформления
Методика изучения английского языка самостоятельно
Автобус марко поло технические характеристики
Расписание кинотеатр смена
 
 Эксклюзив Эксклюзив 
Карта сайта
Расписание электричек калитники бутово
Стрелец и водолей совместимость знаков
Пресс для сена своими руками
Sg в анализе мочи
Документы на российское гражданство
Болезнь паркинсона лечение народными средствами